Jednostavnije supstitucije

U nekim slučajevima integral racionalne funkcije trigonometrijskih funkcija može se računati pomoću jednostavnijih supstitucije koje vode na integral racionalne funkcije nižeg reda ili pak na jednostavniji integral.

$\displaystyle x= \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits t$	$\displaystyle dx=\frac{1}{1+t^2} dt,$
$\displaystyle \sin^2 x=\frac{t^2}{1+t^2},$	$\displaystyle \cos^2 x=\frac{1}{1+t^2},$	(1.5)
$\displaystyle \sin x\cos x = \frac{t}{1+t^2},$	$\displaystyle \mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x=\frac{1}{t}.$

$\displaystyle \int \mathcal{R}(\sin x)\cos x dx$	$\displaystyle = \left\{ \begin{aligned}\sin x&=t \cos x dx&= dt\end{aligned}\right\} =\int \mathcal{R}(t) dt,$
$\displaystyle \int \mathcal{R}(\cos x)\sin x dx$	$\displaystyle = \left\{ \begin{aligned}\cos x&=t -\sin x dx&= dt\end{aligned}\right\} =-\int \mathcal{R}(t) dt.$

Primjer 1.9 Riješimo integral iz primjera 1.8 na drugi način. Vrijedi

$\displaystyle I$	$\displaystyle =\int\frac{ dx}{(2+\cos x)\sin x}= \int\frac{\sin x}{(2+\cos x)\sin^2 x} dx$
	$\displaystyle =\int\frac{\sin x}{(2+\cos x)(1-\cos^2 x)} dx =\left\{ \begin{aligned}\cos x&=t -\sin x dx&= dt \end{aligned}\right\}$
	$\displaystyle =-\int \frac{ dt}{(2+t)(1-t^2)}= -\int \frac{ dt}{(2+t)(1-t)(1+t)}.$

Rastavljanje na parcijalne razlomke daje

$\displaystyle I$	$\displaystyle =\frac{1}{3}\int \frac{ dt}{2+t} -\frac{1}{6}\int \frac{ dt}{1-t} -\frac{1}{2}\int \frac{ dt}{1+t}$
	$\displaystyle =\frac{1}{3}\ln (2+\cos x)+\frac{1}{6}\ln \vert 1-\cos x\vert -\frac{1}{2}\ln \vert 1+\cos x\vert+C.$

Napomena 1.3 Korištenjem različitih supstitucija kao u primjerima 1.8 i 1.9 mogu se dobiti naizgled potpuno različita rješenja. Međutim, teorem 1.1 kaže da se ta rješenja razlikuju samo za konstantu.

Zadatak 1.4

a)

Dokažite formule (1.5).

b)

Dokažite da se rješenja integrala u primjerima 1.8 i 1.9 razlikuju za konstantu. Uputa. Koristeći svojstva logaritama (vidi M1, poglavlje 4.6.4) svedite izraze na jedan logaritam, a onda primijenite odgovarajuće veze između trigonometrijskih funkcija.

c)

Izračunajte integral iz primjera 1.8 i 1.9 pomoću programa Online Integral Calculator.

d)

Nacrtajte sva tri rješenja pomoću programa NetPlot .

e)

Izračunajte integrale:

	$\displaystyle \int \frac{1}{4\sin x+ 3\cos x+5} dx,$
	$\displaystyle \int \frac{1}{\sin x ( 2+ \cos x-2\sin x)} dx,$
	$\displaystyle \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x +\sin x } dx,$
	$\displaystyle \int \frac{2\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x +3}{\sin^2 x +2\cos^2 x } dx.$