×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Racionalna supstitucija     Integriranje nekih iracionalnih funkcija     Metoda neodređenih koeficijenata

Trigonometrijske i Eulerove supstitucije

Funkciju

$$\varphi (x)=\sqrt{ax^2+bx+c}:D\to R$$

ima smisla promatrati samo u sljedećim slučajevima (uvedimo oznaku $\Delta=b^2-4ac$ ):

i.

kada je $a>0$ i $\Delta>0$ , tada je $D=(-\infty,x_1]\cup [x_2,\infty)$ pri čemu je

$$x_1=\frac{-b-\Delta}{2 a},\qquad x_2=\frac{-b+\Delta}{2 a},$$

ii.

kada je $a<0$ i $\Delta>0$ , tada je $D=[x_1,x_2]$ pri čemu su $x_1$ i $x_2$ zadani kao i u slučaju (i),

iii.

kada je $a>0$ i $\Delta\leq 0$ , tada je $D=\mathbb{R}$ .

Integral oblika

$$\int \mathcal{R} (x,\sqrt{ax^2+bx+c}) dx$$

svodi se na jedan od tri jednostavnija integrala pomoću supstitucije^1.5

$$t=\frac{2ax+b}{\sqrt{\vert 4ac-b^2\vert}}.$$

Za rješavanje tih integrala koristimo ili trigonometrijske ili Eulerove supstitucije:

$$\int \mathcal{R} (t,\sqrt{1-t^2}) dt =\big\{ t=\sin z\big\} \textrm{ili}\qquad \big\{ \sqrt{1-t^2}=z(1-t)\big\},$$

$$\int \mathcal{R} (t,\sqrt{t^2-1}) dt =\big\{ t=\frac{1}{\sin z}\big\} \textrm{ili}\qquad \big\{ \sqrt{t^2-1}=t+z\big\},$$

$$\int \mathcal{R} (t,\sqrt{1+t^2}) dt =\big\{ t=\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits z\big\} \textrm{ili}\qquad \big\{ \sqrt{1+t^2}=t+z\big\}.$$

Primjer 1.11   Vrijedi

$$I =\int \frac{ dx}{x+\sqrt{x^2+6 x+10}}= \int\frac{ dx}{x+\sqrt{(x+3)^2+1}}= \bigg\{ \begin{aligned}&x+3=t & dx= dt\end{aligned}\bigg\}$$

$$=\int\frac{ dt}{t-3+\sqrt{1+t^2}}.$$

Eulerova supstitucija daje

$$\sqrt{1+t^2}=t+z \Rightarrow 1+t^2=t^2+2 t z+z^2 \Rightarrow t=\frac{1-z^2}{2 z} \Rightarrow dt=-\frac{1+z^2}{2 z^2} dz$$

pa je

$$I= \int \displaystyle \frac{-\displaystyle \frac{1+z^2}{2 z^2} ... ...c{1-z^2}{2 z} +z}= \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1+z^2}{z (3 z-1) } dz.$$

Dobiveni integral racionalne funkcije sada se riješi prema pravilima iz poglavlja 1.4.

Trigonometrijska supstitucija daje

$$I =\bigg\{\begin{aligned}t=\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits z \Rightar... ...{1}{\cos^2 z}}=\frac{1}{\cos z}\quad \textrm{za } \cos z>0 \end{aligned}\bigg\}$$

$$= \int \frac{\displaystyle \frac{1}{\cos z} dz}{\displaystyle \... ...+\displaystyle \frac{1}{\cos z}} =\int \frac{dz}{\cos z (\sin z-3\cos z+1)}.$$

Ovaj integral dalje se pomoću univerzalne trigonometrijske supstitucije (1.4) svede na integral racionalne funkcije koji se riješi prema pravilima iz poglavlja 1.4.

Zadatak 1.7  

a)

Dovršite računanje integrala iz primjera 1.10 i 1.11. Rezultate provjerite pomoću programa Online Integral Calculator.

b)

Izračunajte integrale:

$$\int \frac{ dx}{\sqrt{(5+2x+x^2)^3}},$$

$$\int \frac{ dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}},$$

$$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx.$$

Racionalna supstitucija     Integriranje nekih iracionalnih funkcija     Metoda neodređenih koeficijenata