×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Definicija i osnovna svojstva     ODREĐENI INTEGRAL     Supstitucija i parcijalna integracija

Newton-Leibnitzova formula

U ovom poglavlju dokazat ćemo osnovni teorem integralnog računa koji daje vezu između neodređenog i određenog integrala.

Teorem 2.2   Neka je funkcija $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ integrabilna na $[a,b]$ i neka za nju postoji primitivna funkcija $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ takva da je $F'(x)=f(x)$ za svaki $x\in(a,b)$ . Tada vrijedi Newton-Leibnitzova formula:

$$\int\limits _a^b f(x) dx=F(b)-F(a).$$

Dokaz.

Neka je $D$ proizvoljna podjela segmenta $[a,b]$ kao u definiciji 2.1. Za svaki $i=1,2,\ldots,n$ funkcija $F$ je neprekidna na intervalu $[x_{i-1},x_i]$ i derivabilna na intervalu $(x_{i-1},x_i)$ . Prema Lagrangeovom teoremu srednje vrijednosti (vidi M1, teorem 5.9) postoji točka $\xi_i\in(x_{i-1},x_i)$ za koju vrijedi

$$F(x_i)-F(x_{i-1})=F'(\xi_i)(x_i-x_{i-1})=f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}).$$

S druge strane vrijedi

$$\inf\{ f(x) : x\in [x_{i-1},x_i]\}=m_i\leq f(\xi_i)\leq M_i=\sup\{ f(x) : x\in [x_{i-1},x_i]\}$$

što povlači

$$m_i(x_i-x_{i-1})\leq F(x_i)-F(x_{i-1}) \leq M_i (x_i-x_{i-1}), \quad i=1,2,\ldots,n.$$

Zbrajajući ove nejednakosti dobivamo

$$d(f,D)\leq \sum_{i=1}^n [ F(x_i)-F(x_{i-1})]\leq g(f,D),$$

odnosno

$$d(f,D)\leq F(b)-F(a)\leq g(f,D).$$

Ove nejednakosti vrijede za proizvoljnu podjelu $D$ segmenta $[a,b]$ iz čega slijedi

$$I_*\leq F(b)-F(a)\leq I^*.$$

Integrabilnost funkcije $f$ povlači

$$I_*=I^*=\int_a^b f(x) dx$$

pa je konačno

$$\int\limits _a^b f(x) dx=F(b)-F(a)$$

i teorem j dokazan.     

Q.E.D.

Iz teorema zaključujemo da se određeni integral može riješiti tako da se nađe neodređeni integral podintegralne funkcija, odnosno jedna primitivna funkcija, a onda uvrste granice. Newton-Leibnitzovu formulu još zapisujemo kao

$$\int\limits _a^b f(x) dx=F(x) \bigg\vert _a^b.$$

Primjer 2.2   Površina između funkcije $y=\sin x$ i $x$ -osi od 0 do $\pi$ jednaka je

$$\int\limits _0^{\pi} \sin x dx= -\cos x \bigg\vert _0^{\pi} = -\cos \pi-(-\cos 0)=-(-1)+1=2.$$

Slično, površina između kvadratne parabole $y=x^2$ i $x$ -osi od 0 do $1$ jednaka je

$$\int\limits _0^{1} x^2 dx= \frac{x^3}{3} \bigg\vert _0^{1} = \frac{1}{3}-0= \frac{1}{3}.$$

Površine su prikazane na slici 2.5.

Slika 2.5: Primjena Newton-Leibnitzove formule

U teoremu 2.2 pokazali smo kako se određeni integral može izračunati pomoću primitivne funkcije. Sljedeći teorem daje obrnutu vezu, odnosno kazuje kako se primitivna funkcija može dobiti pomoću određenog integrala, to jest pomoću površine između podintegralne funkcije i $x$ -osi. Također, sljedeći teorem daje i nešto jaču verziju teorema 2.2 bez uvjeta na derivabilnost funkcije $F$ za svaki $x\in(a,b)$ .

Teorem 2.3   Neka je funkcija $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ integrabilna na intervalu $[a,b]$ i neka je $A\subset[a,b]$ skup svih točaka prekida funkcije $f$ . Tada za funkciju $\Phi$ definiranu s

$$\Phi(x)=\int\limits _a^x f(t) dt, \qquad x\in[a,b],$$

vrijedi (vidi sliku 2.6):

i.

$\Phi(a)=0$ , $\Phi(b)=\int\limits _a^b f(x) dx$ ,

ii.

funkcija $\Phi$ je neprekidna na intervalu $[a,b]$ ,

iii.

funkcija $\Phi$ je derivabilna na $[a,b]\setminus A$ i

$$\Phi'(x)=f(x),\qquad \forall x\in[a,b]\setminus A,$$

iv.

ako je skup $A$ konačan ili prebojiv, onda je $\Phi$ primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$ te za bilo koju primitivnu funkciju $F$ funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$ vrijedi Newton-Leibnitzova formula

$$\int\limits _a^b f(x) dx=F(b)-F(a).$$

Dokaz.

i.

Tvrdnja je očita.

ii.

Za proizvoljan $x$ vrijedi

$$\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)=\int\limits _x^{x+\Delta x} f(t) dt$$

pa omeđenost funkcije $f$ ,

$$\vert f(t)\vert\leq M, \qquad \forall t\in[a,b]$$

povlači

$$\vert\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)\vert\leq M \vert\Delta x\vert,$$

odnosno

$$\lim_{\delta x\to 0} \Phi(x+\Delta x)=\Phi(x).$$

iii.

Za proizvoljan $x$ vrijedi

$$\frac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x}-f(x) =\frac{1}{\Delta x} \int\limits _x^{x+\Delta x} [f(t)-f(x)] dt,$$

pa slične ocjene kao u točki (ii) daju

$$\left\vert \frac{\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)}{\Delta x} -f(x)\right\... ...p_{t\in[x,x+\Delta x] \textrm{ ili } t\in[x+\Delta x,x]} \vert f(t)-f(x)\vert.$$

Ako je funkcija $f$ neprekidna u točki $x$ , odnosno, ako je $x\in[a,b]\setminus A$ , onda izraz na desnoj strani teži nuli kada $\Delta x\to 0$ pa je $\Phi'(x)=f(x)$ .

iv.

Ako je skup $A$ konačan ili prebrojiv, onda je $\Phi$ i primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$ . Prema teoremu 1.2 za bilo koju primitivnu funkciju $F$ funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$ vrijedi

$$F(x)=\Phi(x)+C, \qquad \forall x\in[a,b]$$

pa iz točke (i) slijedi

$$F(b)-F(a)=\Phi(b)+C-\Phi(a)-C = \Phi(b)=\int\limits _a^b f(x) dx.$$

    

Q.E.D.

Slika: Primitivna funkcija kao određeni integral

Definicija i osnovna svojstva     ODREĐENI INTEGRAL     Supstitucija i parcijalna integracija