×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Uvjetni ekstrem     Varijacijski račun     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

Eulerova metoda konačnih razlika

U ovom poglavlju opisat ćemo Eulerovu metodu konačnih razlika za numeričko rješavanje problema. Metoda se temelji na ideji da kod traženja ekstrema funkcionala

$$I(y)=\int\limits _a^b F(x,y,y') dx, \qquad y(a)=A, \quad y(b)=B,$$

ne promatramo sve dozvoljene derivabilne funkcije koje zadovoljavaju rubne uvjete, već samo poligonalne linije koje imaju vrhove u točkama

$$(x_i,y_i), \qquad i=0,1,\ldots,n,$$

koje su definirane na sljedeći način: uz $\Delta x=(b-a)/n$ je

$$x_i=a+i \Delta x, \qquad y_i=y(x_i), \qquad i=0,\ldots n.$$

Na ovaj način zadani funkcional $I(y)$ postaje funkcija varijabli $y_1,\ldots, y_{n-1}$ koju označavamo s $\Phi(y_1,\ldots, y_{n-1})$ , a zadani problem svodi se na traženje ekstrema funkcije od $n-1$ varijabli, odnosno na rješavanje sustava jednadžbi

$$\frac{\partial \Phi}{\partial y_i},\qquad i=1,\ldots,n-1.$$

Primjer 4.28   Nađimo ekstrem funkcionala

$$I(y)=\int\limits _0^1 (y^{\prime 2} + 2 y) dx, \qquad y(0)=0,\quad y(1)=0,$$

metodom konačnih razlika. Odaberimo $n=5$ . Tada je $\Delta x=(1-0)/5=0.2$ i

$$y_0=y(0)=0, \qquad y_1=y(0.2), \qquad y_2=y(0.4),$$

$$y_3=y(0.6), \qquad y_4=y(0.8),\qquad y_5=y(1)=0.$$

Integral aproksimiramo pomoću lijeve integralne sume (vidi napomenu 2.1)

$$I(y)\approx [F(x_0,y_0,y'_0)+\cdots + F(x_{n-1},y_{n-1},y'_{n-1})] dx$$

pri čemu se derivacije aproksimiraju konačnim razlikama

$$y'_i=y'(x_i)=\frac{y_{i+1}-y_i}{\Delta x},$$

odnosno

$$y'_0=\frac{y_1-0}{0.2}, \qquad y'_1=\frac{y_2-y_1}{0.2}, \qquad y'_2=\frac{y_3-y_2}{0.2},$$

$$y'_3=\frac{y_4-y_3}{0.2}, \qquad y'_4=\frac{0-y_4}{0.2}.$$

Dakle,

$$I(y) \approx \Phi(y_1,\ldots,y_{n-1}) = \bigg[ \left(\frac{y_1}{0.2}\right)^2 + 2\cdot 0 + \left(\frac{y_2-y_1}{0.2}\right)^2 + 2 y_1 +$$

$$\quad + \left(\frac{y_3-y_2}{0.2}\right)^2 + 2 y_2 + \left(\fra... ...\right)^2 + 2 y_3 + \left(\frac{-y_4}{0.2}\right)^2 + 2 y_4 \bigg]\cdot 0.2.$$

Nužni uvjeti ekstrema funkcije $\Phi(y_1,\ldots, y_{n-1})$ glase

$$\frac{\partial \Phi}{\partial y_1} =\left(\frac{2 y_1}{0.04} + \frac{2 (y_2-y_1)(-1)}{0.04} + 2\right)\cdot 0.2=0,$$

$$\frac{\partial \Phi}{\partial y_2} =\left(\frac{2 (y_2-y_1)}{0.04} + \frac{2 (y_3-y_2)(-1)}{0.04} + 2\right)\cdot 0.2=0,$$

$$\frac{\partial \Phi}{\partial y_3} =\left(\frac{2 (y_3-y_2)}{0.04} + \frac{2 (y_4-y_3)(-1)}{0.04} + 2\right)\cdot 0.2=0,$$

$$\frac{\partial \Phi}{\partial y_4} =\left(\frac{2 (y_4-y_3)}{0.04} + \frac{2 y_4}{0.04} + 2\right)\cdot 0.2=0.$$

Nakon sređivanja vidimo da se radi o sustavu linearnih jednadžbi $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ (vidi M1, glava 2), gdje je

$$A=\begin{bmatrix}2 & -1 & & -1 & 2& -1 & & -1 & 2 & -1 &... ...uad \mathbf{b}=\begin{bmatrix}- 0.04 -0.04 -0.04 -0.04 \end{bmatrix}.$$

Rješenje sustava je

$$y_1=-0.08, \qquad y_2=-0.12,\qquad y_3=-0.12, \qquad y_4=-0.08.$$

Primijetimo da se izračunane vrijednosti poklapaju s vrijednostima rješenja $y=(x^2-x)/2$ . Izračunajte točno rješenje za vježbu!

Rješenje se može jednostavno programirati u programskom jeziku Matlab. Program koji postavi matricu $A$ i vektor $\mathbf{b}$ te potom riješi sustav i nacrta numeričko i egzaktno rješenje glasi:

Octave On-line

n=4; dx=1/(n+1); % Matrica A i vektor b for i=1:n, A(i,i)=2; end for i=1:n-1, A(i+1,i)=-1; A(i,i+1)=-1; end b=-dx**2*ones(n,1); % Rjesenje sustava y=A\b % Crtanje rjesenja i tocnog rjesenja x=0:dx:1; y=[0; y; 0] xx=0:0.01:1; yy=(xx.^2-xx)/2; plot(x,y,'r',xx,yy,'b')

     

[Octave On-line Home]    [Octave User's Guide]

Napomena 4.4   Općenito se korištenjem metode konačnih razlika dobije sustav nelinearnih jednadžbi. Intuitivno je jasno da aproksimacija rješenja postaje sve bolja kada se povećava broj intervala $n$ . Ova metoda je začetak poznate metode konačnih elemenata.

Uvjetni ekstrem     Varijacijski račun     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE