Totalni diferencijal drugog reda

Odredite totalni diferencijal drugog reda funkcije $\displaystyle z(x,y)=\ln (x+y)$ .

Rješenje.

Da bismo izračunali totalni diferencijal drugog reda, prema [M2, definicija 3.10], odredit ćemo parcijalne derivacije prvog i drugog reda zadane funkcije. Vrijedi

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}\left( x,y\right) =\frac{1}{x+y}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}\left( x,y\right) =\frac{1}{x+y},$

$\displaystyle \frac{\partial ^2z}{\partial x^2}\left( x,y\right) =\frac{\partia... ...ght) = \frac{\partial ^2z}{\partial y^2}\left( x,y\right) =-\frac{1}{(x+y)^2}.$

Dakle, nakon uvrštavanja dobivenih derivacija u

$\displaystyle d^2f(x,y) =f''_{xx}(x,y)(dx)^2+2f''_{xy}(x,y)dxdy+f''_{yy}(x,y)(dy)^2,$

slijedi

$\displaystyle d^2z(x,y)=-\frac{1}{(x+y)^2}(dx)^2-\frac{2}{(x+y)^2}dx dy-\frac{1}{(x+y)^2}(dy)^2=-\frac{1}{(x+y)^2}(dx+dy)^2.$