×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Diferencijalne jednadžbe koje se     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Ortogonalne trajektorije


Egzaktne diferencijalne jednadžbe i integrirajući faktor

a)
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime }=-\frac{\sin y}{x\cos y}$ .

b)
Rješite diferencijalnu jednadžbu $ \displaystyle
\left( 2xy+x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)  dx+\left( x^{2}+y^{2}\right) dy=0$ , ako je $ \displaystyle\lambda =\lambda \left( x\right) $ .

c)
Rješite diferencijalnu jednadžbu $ \displaystyle
y\left( 1+xy\right)  dx-xdy=0$ , ako je $ \displaystyle\lambda =\lambda \left(
y\right) $ .

Rješenje.

a)
Zadanu diferencijalnu jednadžbu možemo zapisati u obliku

$\displaystyle \sin y dx+x\cos ydy=0.$    

Ovo je egzaktna diferencijalna jednadžba [*][M2, poglavlje 5.7], jer vrijedi

$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\cos y=\frac{\partial Q}{\partial x}.$    

Rješenje zadane diferencijalne jednadžbe dobije se rješavanjem integrala

$\displaystyle \int\limits_{x_{0}}^{x}P\left( x,y\right)  dx+\int\limits_{y_{0}}^{y}Q\left(
 x_{0},y\right) dy=C.$    

Za početnu točku $ \left( x_{0},y_{0}\right) $ (uzmimo, na primjer, točku $ \left( 0,0\right) $ ) vrijedi

$\displaystyle \int\limits_{0}^{x}\sin y dx+\int\limits_{0}^{y}0\cdot \cos ydy$ $\displaystyle =C$    
$\displaystyle x\sin y\bigg\vert_{0}^{x}+0$ $\displaystyle =C$    
$\displaystyle x\sin y$ $\displaystyle =C,$    

i to je rješenje zadane diferencijalne jednadžbe.

b)
Kako je $ \displaystyle\lambda =\lambda \left( x\right) $ , koristimo formule za inetgrirajući faktor [*][M2, poglavlje 5.7]. Vrijedi

$\displaystyle \lambda \left( x\right) =\pm e^{\int \frac{2x+x^{2}+y^{2}-2x}{x^{2}+y^{2}}
 }=\pm e^{\int  dx}=\pm e^{x}.$    

Rješenje dobivamo inetgriranjem:

$\displaystyle \int\limits_{x_{0}}^{x}\left( 2xy_{0}+x^{2}y_{0}+\frac{y_{0}^{3}}{3}\right)
 e^{x} dx+\int\limits_{y_{0}}^{y}\left( x^{2}+y^{2}\right) e^{x}dy=C.$    

Na primjer, za početnu točku $ \left( 0,0\right) $ je

$\displaystyle \int\limits_{0}^{x}\left( 2x\cdot 0+x^{2}\cdot 0+\frac{0^{3}}{3}\right)
 e^{x} dx+\int\limits_{0}^{y}\left( x^{2}+y^{2}\right) e^{x}dy$ $\displaystyle =C$    
$\displaystyle 0+x^{2}e^{x}\int\limits_{0}^{y}dy+e^{x}\int\limits_{0}^{y}y^{2}dy$ $\displaystyle =C$    
$\displaystyle x^{2}e^{x}y\bigg\vert_{0}^{y}+e^{x}\frac{y^{3}}{3}\bigg\vert_{0}^{y}$ $\displaystyle =C$    
$\displaystyle x^{2}e^{x}y+e^{x}\frac{y^{3}}{3}$ $\displaystyle =C$    
$\displaystyle e^{x}\left( x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right)$ $\displaystyle =C.$    

c)
Kako je $ \displaystyle\lambda =\lambda \left(
y\right) $ , koristimo formule za inetgrirajući faktor [*][M2, poglavlje 5.7], pa je

$\displaystyle \lambda \left( x\right) =\pm e^{\int \frac{1+2xy+1}{-y\left( 1+xy...
... \frac{2}{y} dx}=\pm e^{-2\ln \left\vert y\right\vert }=\pm 
 \frac{1}{y^{2}}.$    

Rješenje dobivamo integriranjem

$\displaystyle \int\limits_{x_{0}}^{x}\frac{1+xy}{y} dx-\int\limits_{y_{0}}^{y}\frac{x_{0}}{y^{2}
 }dy=C.$    

Na primjer, za početnu točku $ \left( 0,1\right) $ je

$\displaystyle \int\limits_{0}^{x}\frac{1+xy}{y} dx-\int\limits_{1}^{y}\frac{0}{y^{2}}dy$ $\displaystyle =C$    
$\displaystyle \frac{x}{y}\bigg\vert_{0}^{x}+\frac{x^{2}}{2}\bigg\vert_{0}^{x}$ $\displaystyle =C$    
$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{2}$ $\displaystyle =C.$    


Diferencijalne jednadžbe koje se     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Ortogonalne trajektorije