×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Singularna rješenja     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Bernoullijeva diferencijalna jednadžba

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda

Odredite opće rješenje diferencijalnih jednadžbi:

a)

$$y^{\prime }\cos x-y\sin x=\sin \left( 2x\right)$$ .

b)

$$y^{\prime }=\frac{1}{x\cos y+a\sin \left( 2y\right) },a\neq 0$$ .

c)

$$y^{\prime }-y=e^{x}$$ .

d)

$$\left( x^{2}+1\right) y^{\prime }+4xy=3$$ .

Napomena: Zadatke pod a) i b) rješit ćemo primjenom formule za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe [M2, poglavlje 5.8], a zadatke pod c) i d) metodom varijacije konstanti.

Rješenje.

a)

Dijeljenjem zadane diferencijalne jednadžbe s $$\cos x$$ dobivamo

$$y^{\prime }-y{\mathop{\mathrm{tg}}}x =\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}$$

$$y^{\prime }-y{\mathop{\mathrm{tg}}}x =2\sin x.$$

U formulu [M2, poglavlje 5.8] uvrštavamo

$$p\left( x\right) =-{\mathop{\mathrm{tg}}}x, q\left( x\right) =2\sin x$$

i dobivamo

$$y =e^{-\int \left( -{\mathop{\mathrm{tg}}}x\right) dx}\left[ \int 2\sin xe^{\int \left( -{\mathop{\mathrm{tg}}}x\right) dx} dx+C\right]$$

$$y =e^{\int {\mathop{\mathrm{tg}}}x dx}\left[ \int 2\sin xe^{-\int { \mathop{\mathrm{tg}}}x dx} dx+C\right]$$

$$y =e^{-\int \frac{d\left( \cos x\right) }{\cos x}}\left[ \int 2\sin xe^{\int \frac{d\left( \cos x\right) }{\cos x}} dx+C\right]$$

$$y =e^{\ln \frac{1}{\left\vert \cos x\right\vert }}\left[ \int 2\sin xe^{\ln \left\vert \cos x\right\vert } dx+C\right]$$

$$y =\frac{1}{\left\vert \cos x\right\vert }\left[ \int 2\sin x\left\vert \cos x\right\vert dx+C\right]$$

$$y =\frac{1}{\left\vert \cos x\right\vert }\left[ {\mathop{\mathrm{sgn}}} \left( \cos x\right) \int 2\sin x\cos x dx+C\right]$$

$$y =\frac{1}{\left\vert \cos x\right\vert }\left[ {\mathop{\mathrm{sgn}}} \left( \cos x\right) \int \sin 2x dx+C\right]$$

$$y =\frac{1}{\left\vert \cos x\right\vert }\left[ {\mathop{\mathrm{sgn}}} \left( \cos x\right) \left( -\frac{1}{2}\right) \cos 2x+C\right]$$

$$y =-\frac{1}{2}\frac{\cos 2x}{\cos x}+\frac{C}{\cos x}.$$

b)

Neka je $$x=x\left( y\right)$$ . Tada je

$$y^{\prime }=\frac{dy}{ dx}=\frac{1}{\frac{ dx}{dy}}=\frac{1}{x^{\prime }}$$

pa zadanu diferencijlanu jednadžbu možemo pisati kao

$$\frac{1}{x^{\prime }} =\frac{1}{x\cos y+a\sin \left( 2y\right) }$$

$$x^{\prime } =x\cos y+a\sin \left( 2y\right)$$

$$x^{\prime }-x\cos y =a\sin \left( 2y\right).$$

U formulu za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe [M2, poglavlje 5.8] uvrštavamo

$$p\left( y\right) =-{\cos y}, q\left( y\right) =a\sin \left( 2y\right)$$

i dobivamo

$$x =e^{-\int -{\cos y}dy}\left[ a\int \sin \left( 2y\right) e^{-\int {\cos y }dy}dy+C\right]$$

$$x =e^{\sin y}\left[ a\int \sin \left( 2y\right) e^{-\sin y}dy+C\right]$$

$$x =e^{\sin y}\left[ 2a\int \sin y\cos ye^{-\sin y}dy+C\right]$$

$$x =e^{\sin y}\left[ 2a\int \sin y\cos ye^{-\sin y}dy+C\right].$$ (5.5)

Označimo integral u uglatoj zagradi s $$I$$ i rješimo ga:

$$I =\int \sin y\cos ye^{-\sin y}dy=\left\{ \begin{array}{c} \sin y=t \cos ydy= dt \end{array} \right\} =\int te^{-t} dt$$

$$=\left\{ \begin{array}{cc} u=t & dv=e^{-t} dt du= dt & v=-e^{-t} \end{array} \right\} =-te^{-t}+\int e^{-t} dt$$

$$=-te^{-t}-e^{-t}=-\left( t+1\right) e^{-t}=-\left( \sin y+1\right) e^{-\sin y}.$$

Uvrštavanjem dobivenog rješenja u (5.5) slijedi

$$x =e^{\sin y}\left[ -2a\left( \sin y+1\right) e^{-\sin y}+C\right]$$

$$x =Ce^{\sin y}-2a\left( \sin y+1\right) .$$

c)

Ovu linearnu diferencijalnu jednadžbu rješit ćemo metodom varijacije konstanti. Prvo ćemo rješiti pripadnu homogenu diferencijalnu jednadžbu, koja je diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama.

$$y^{\prime }-y =0$$

$$\frac{dy}{ dx} =y$$

$$\frac{dy}{y} = dx$$

$$\int \frac{dy}{y} =\int dx$$

$$\ln \left\vert y\right\vert =x+C$$

$$\ln Cy =x$$

$$y =Ce^{x}.$$

Sada je opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe oblika $$y=C\left( x\right) e^{x}$$ , pa ga u nju i uvrštavamo:

$$C^{\prime }\left( x\right) e^{x}+C\left( x\right) e^{x}-C\left( x\right) e^{x} =e^{x}$$

Integriranjem dobivamo $C\left( x\right)$ :

$$C^{\prime }\left( x\right) e^{x} =e^{x}$$

$$C^{\prime }\left( x\right) =1$$

$$C\left( x\right) =\int dx$$

$$C\left( x\right) =x+A.$$

Dakle, opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi

$$y=\left( x+A\right) e^{x}.$$

d)

I ovu linearnu diferencijalnu jednadžbu rješit ćemo metodom varijacije konstanti. Prvo riješimo pripadnu homogenu diferencijalnu jednadžbu:

$$y^{\prime }-\frac{4x}{x^{2}+1}y =0$$

$$\frac{dy}{ dx} =-\frac{4x}{x^{2}+1}y$$

$$\frac{dy}{y} =-\frac{4x}{x^{2}+1} dx$$

$$\int \frac{dy}{y} =-2\int \frac{d\left( x^{2}+1\right) }{x^{2}+1}$$

$$\ln \left\vert y\right\vert =-2\ln \left( x^{2}+1\right) +\ln C$$

$$y =\frac{C}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}.$$

Opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe je oblika $$y=\frac{C\left( X\right)}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}$$ pa ga uvrštavamo u zadanu diferencijalnu jednadžbu:

$$\frac{C^{\prime }\left( X\right) \left( x^{2}+1\right) ^{2}-4x\le... ... ^{4}}+\frac{4x}{ x^{2}+1}\frac{C\left( X\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} =\frac{3}{ x^{2}+1}$$

$$\frac{C^{\prime }\left( X\right) \left( x^{2}+1\right) -4xC\left(... ... ^{3}}+\frac{4x}{x^{2}+1}\frac{C\left( X\right) }{ \left( x^{2}+1\right) ^{2}} =\frac{3}{ x^{2}+1}$$

Sređivanjem dobivamo

$$C^{\prime }\left( x\right) =3\left( x^{2}+1\right)$$

$$C\left( x\right) =x^{3}+3x+A.$$

Dakle, opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi:

$$y=\frac{x^{3}+3x+A}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}.$$

Singularna rješenja     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Bernoullijeva diferencijalna jednadžba