×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Dvostruki integral     Dvostruki integral     Polarne koordinate

Volumen i površina

Dvostruki integral koristimo za računanje volumena (obujma) i površine. Neka je podintegralna funkcija $f:D\to \mathbb{R}$ , $D\subseteq \mathbb{R}^2$ , neprekidna (tada je i omeđena) i nenegativna, i neka je područje $D$ omeđeno po dijelovima glatkom jednostavnom zatvorenom krivuljom^4.2. Tada je vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenu tijela $\Omega$ koje je omeđeno bazom $D$ u $xy$ -ravnini i plohom $z=f(x,y)$ ,

$$V(\Omega) = \iint\limits_D f(x,y) dx dy=\iint\limits_D z dP.$$

Izraz $dP=dx dy$ označava element površine, odnosno površinu pravokutnika sa stranicama $dx$ i $dy$ .

Ako je $z=f(x,y)=1$ , onda dvostruki integral daje površinu područja $D$ (volumen tijela s bazom $D$ visine 1 jednak je površini baze):

$$P(D)=V(\Omega)=\iint\limits_D dP.$$

Primjer 4.4   Izračunajmo obujam tijela omeđenog ravninama

$$z=0,\quad y=x,\quad y=3x,\quad y=2-x,\quad y=4-x,$$

i plohom $z=x^2+y^2$ . Zadana ploha je kružni paraboloid s vrhom u ishodištu (vidi poglavlje 3.4.1). Područje integracije $D$ određeno je s četiri zadnje ravnine i prikazano je na slici 4.3.

Slika: Područje integracije za računanje volumena

Rastavljajući područje integracije na dva dijela imamo

$$V=\int\limits _{1/2}^1 \int\limits _{2-x}^{3x} (x^2+y^2) dy dx+ \int\limits _{1}^2 \int\limits _{x}^{4-x} (x^2+y^2) dy dx.$$

Alternativno, rastavljajući područje integracije na tri dijela i integrirajući prvo po varijabli $x$ imamo

$$V=\int\limits _{1}^{3/2} \int\limits _{2-y}^{y} (x^2+y^2) dx ... ...2) dx dy+ \int\limits _{2}^3 \int\limits _{y/3}^{4-y} (x^2+y^2) dx dy.$$

Riješite primjer do kraja na oba načina.

Nadalje, neka je tijelo $\Omega$ omeđeno plohama $z=f(x,y)$ i $z=g(x,y)$ , pri čemu je

$$f,g:D\to \mathbb{R}, \qquad g(x,y)\leq f(x,y) \quad \forall (x,y)\in D,$$

a $D\subset \mathbb{R}^2$ je područje omeđeno po dijelovima glatkom jednostavnom zatvorenom krivuljom. Volumen tijela $\Omega$ računa se po formuli

$$V(\Omega)= \iint\limits_D (f(x,y)-g(x,y)) dx dy.$$ (4.1)

Ovo je prirodno poopćenje formule za računanje površine ravninskih likova pomoću jednostrukog integrala iz poglavlja 2.6.1.

Dvostruki integral     Dvostruki integral     Polarne koordinate