×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Varijacijski račun     Varijacijski račun     Primjeri

Nužni i dovoljni uvjeti ekstrema

Neka je $F(x,y,y')$ neprekidna dva puta derivabilna funkcija svojih argumenata. Pretpostavimo da je krivulja $y_0=y_0(x)$ ekstrem funkcionala $I(y)=\int\limits_a^b F(x,y,y') dx$ . Neka je krivulja $y=y(x)$ blizu krivulji $y_0$ , odnosno neka za $\rho>0$ vrijedi

$$y_0(x)-\rho \leq y(x)\leq y_0(x)+\rho,\qquad x\in[a,b].$$

Razlika $\delta y=y-y_0$ zove se varijacija funkcije $y_0$ (vidi sliku 4.17).

Slika 4.17: Funkcija $y_0$ i njene varijacije

Dakle, vrijedi $y=y_0+\delta y$ . Ovu jednakost možemo zapisati i kao

$$y=y_0+\varepsilon \eta,$$

gdje je $\eta=\eta(x)$ neka derivabilna funkcija, a $\varepsilon>0$ dovoljno mali broj. Sada je

$$y'=y_0'+\varepsilon \eta'$$

pa je

$$I(y)=\int\limits _a^b F(x,y,y') dx=\int\limits _a^b F(x, y_0+\varepsilon \eta, y_0'+\varepsilon \eta') dx.$$

Ako fiksiramo $\eta$ , onda funkcional $I$ postaje funkcija varijable $\varepsilon$ , odnosno

$$I(y)=I(\varepsilon) =\int\limits _a^b F(x, y_0+\varepsilon \eta, y_0'+\varepsilon \eta') dx$$

pa nužni uvjet ekstrema glasi

$$\frac{dI}{d\varepsilon}=0.$$

Funkcija $y_0$ je rješenje problema pa mora biti i $\varepsilon=0$ . Dakle,

$$\frac{dI}{d\varepsilon} \bigg\vert _{\varepsilon=0}=0.$$

Prema pravilu za deriviranje pod znakom integrala (teorem 4.3) i pravilu za deriviranje složenih funkcija (teorem 3.5) vrijedi

$$\frac{dI}{d\varepsilon}= \int\limits _a^b \left[ \frac{\partial F... ...x, y_0+\varepsilon \eta, y_0'+\varepsilon \eta') \eta' \right] dx.$$

Za $\varepsilon=0$ je $y=y_0$ i $y'=y_0'$ pa parcijalne derivacije po $y$ i $y'$ postaju parcijalne derivacije po $y_0$ i $y_0'$ . Stoga je

$$\frac{dI}{d\varepsilon} \bigg\vert _{\varepsilon=0} = \int\limi... ... + \frac{\partial F}{\partial y_0'}(x, y_0, y_0') \eta' \right] dx=0.$$

Parcijalna integracija drugog člana uz

$$u=\frac{\partial F}{\partial y_0'}, \qquad du=\frac{d}{dx}\left(\... ...{\partial F}{\partial y_0'}\right) dx, \qquad dv=\eta' dx, \qquad v=\eta$$

daje

$$\int\limits _a^b \frac{\partial F}{\partial y_0} \eta dx+ \e... ...^b \eta \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y_0'}\right) dx=0,$$

odnosno

$$\eta \frac{\partial F}{\partial y_0'} \bigg\vert _a^b + \int\l... ...- \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y_0'}\right)\right]\eta dx=0.$$ (4.4)

Razlikujemo dva slučaja.

Slučaj 1. Ako funkcija $y_0$ zadovoljava rubne uvjete $y_0(a)=A$ i $y_0(b)=B$ , onda u obzir dolaze samo one funkcije $y$ koje također zadovoljavaju iste rubne uvjete, odnosno za koje je $y(a)=A$ i $y(b)=B$ . No, onda je očito $\eta(a)=\eta(b)=0$ pa je prvi član u relaciji (4.4) jednak nuli te nužan uvjet ekstrema glasi

$$\int\limits _a^b \left[\frac{\partial F}{\partial y_0} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y_0'}\right)\right]\eta dx=0.$$ (4.5)

Sada nam je potreban sljedeći teorem:

Teorem 4.5   Ako za neprekidnu funkciju $\varphi(x)$ vrijedi

$$\int\limits _a^b \varphi(x) \eta(x) dx=0$$

za svaku neprekidno derivabilnu funkciju $\eta$ za koju je $\eta(a)=\eta(b)=0$ , onda je funkcija $\varphi$ identično jednaka nuli, odnosno $\varphi(x)=0$ za svaki $x\in[a,b]$ .

Dokaz.

Teorem ćemo dokazati pomoću kontradikcije. Pretpostavimo da postoji točka $\bar x\in(a,b)$ za koju je $\varphi(\bar x)\neq 0$ , recimo $\varphi(\bar x)> 0$ . Onda je, radi neprekidnosti, $\varphi(x) >0$ i na nekoj okolini točke $\bar x$ , recimo

$$\varphi(x)>0,\qquad \bar x-\xi\leq x\leq \bar x+\xi,$$

za neki $\xi>0$ . Definirajmo funkciju $\eta$ na sljedeći način:

$$\eta(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & x\in[a,\bar x-\xi],\\ (x-... ...in(\bar x-\xi,\bar x+\xi),\\ 0,& x\in[\bar x +\xi,\leq b]. \end{array}\right.$$

Funkcija $\eta$ zadovoljava pretpostavku teorema (provjerite). S druge strane, vrijedi

$$\int\limits _a^b \varphi(x) \eta(x) dx= \int\limits _{\bar x-\xi}^{\bar +\xi} \varphi(x) \eta(x) dx> 0,$$

što je suprotno pretpostavki teorema i teorem je dokazan.     

Q.E.D.

Direktnom primjenom teorema 4.5 na relaciju (4.5), uz ispuštanje indeksa 0 radi jednostavnosti, dobili smo Euler-Lagrangeovu jednadžbu

$$\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right)=0.$$ (4.6)

Dakle, ako je funkcija $y$ ekstrem polaznog funkcionala, ona je nužno i rješenje Euler-Lagrangeove jednadžbe.

Slučaj 2. Ako funkcija $y_0$ ne zadovoljava nikakve rubne uvjete, postupamo na sljedeći način: relacija (4.4) vrijedi za proizvoljnu funkciju $\eta$ pa i za takve za koje je $\eta(a)=\eta(b)=0$ . Stoga zaključujemo da i u ovom slučaju rješenje $y$ mora zadovoljavati Euler-Lagrangeovu jednadžbu. Međutim, sada i prvi član u relaciji (4.4) mora biti jednak nuli za svaku funkciju $\eta$ pa rješenje $y$ mora zadovoljavati uvjete transverzalnosti (poprečnosti)

$$\frac{\partial F}{\partial y'} (a, y(a), y'(a))=0,\qquad \frac{\partial F}{\partial y'} (b, y(b), y'(b))=0.$$

Moguća je kombinacija prethodnih slučajeva: ako je rubni uvjet zadan samo u jednom kraju, onda u drugom kraju mora biti zadovoljen uvjet transverzalnosti.

Dovoljne uvjete ekstrema (Legendreovi uvjeti) navodimo bez dokaza. Neka funkcija $y$ zadovoljava nužne uvjete ekstrema funkcionala $I$ . Tada vrijedi:

i.

ako je $F''_{y'y'}> 0$ , onda funkcija $y$ daje lokalni minimum funkcionala $I$ , a

ii.

ako je $F''_{y'y'}< 0$ , onda funkcija $y$ daje lokalni maksimum funkcionala $I$ .

Varijacijski račun     Varijacijski račun     Primjeri