×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog     Linearne diferencijalne jednadžbe drugog     Nehomogene jednadžbe

Homogene jednadžbe

Sljedeća dva teorema daju strukturu rješenja homogene jednadžbe

$$y''+p(x) y'+q(x) y=0.$$ (5.11)

Teorem 5.2   Ako su $y_1$ i $y_2$ dva rješenja homogene jednadžbe (5.11), onda je i svaka njihova linearna kombinacija $C_1 y_1 + C_2 y_2$ također rješenje te jednadžbe.

Dokaz.

Teorem se dokazuje direktnim uvrštavanjem.    

Q.E.D.

Teorem 5.3   Neka su $y_1$ i $y_2$ dva rješenja homogene jednadžbe (5.11). Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne^5.3:

i.

$W(x)\neq 0$ za svaki $x\in\mathcal{I}$ ,

ii.

$W(x_0)\neq 0$ za neki $x_0\in \mathcal{I}$ ,

iii.

funkcije $y_1$ i $y_2$ su linearno nezavisne na intervalu $\mathcal{I}$ ,

iv.

opće rješenje jednadžbe dano je s $C_1 y_1 + C_2 y_2$ .

Dokaz.

Implikacija $(iii)\Rightarrow (ii)$ slijedi iz teorema 5.1.

Implikaciju $(ii)\Rightarrow (i)$ dokazujemo na sljedeći način: kako su $y_1$ i $y_2$ rješenja zadane jednadžbe, vrijedi

$$y_1''+p(x) y_1'+q(x) y_1 =0,$$

$$y_2''+p(x) y_2'+q(x) y_2 =0.$$

Množenjem prve jednadžbe s $y_2$ i druge s $y_1$ te oduzimanjem prve jednadžbe od druge, imamo

$$(y_2''y_1-y_1''y_2)+p(x) (y_2'y_1-y_1'y_2)=0,$$

odnosno, prema definiciji Wronskijana,

$$W'+p(x) W=0.$$

Separacija varijabli i teorem 2.3 daju

$$\ln W = -\int\limits _{x_0}^x p(t) dt+ \ln C,$$

odnosno

$$W(x)=C e^{-\int\limits _{x_0}^x p(t) dt}.$$ (5.12)

Uvrštavanjem točke $x=x_0$ slijedi $C=W(x_0)$ , odnosno

$$W(x)=W(x_0) e^{-\int\limits _{x_0}^x p(t) dt}.$$

Kako je po pretpostavci $W(x_0)\neq 0$ , a eksponencijalna funkcija je uvijek nenegativna, zaključujemo da je $W(x)\neq 0$ za svaki $x\in\mathcal{I}$ pa je implikacija dokazana.

Implikacija $(i)\Rightarrow (iii)$ je očita (vidi teorem 5.1).

S ovim smo dokazali ekvivalentnost tvrdnji $(i)-(iii)$ . Preostaje još uključiti tvrdnju $(iv)$ . Dokažimo ekvivalentnost tvrdnji $(i)$ i $(iv)$ . Funkcija $y=C_1 y_1+C_2 y_2$ je opće rješenje jednadžbe (5.11) ako za bilo koje početne uvjete

$$y(x_0)=a,\qquad y'(x_0)=b,\qquad x_0\in\mathcal{I},$$

možemo naći odgovarajuće konstante $C_1$ i $C_2$ tako da uvjeti budu zadovoljeni. Uvrštavanjem zaključujemo da su $C_1$ i $C_2$ rješenja sustava linearnih jednadžbi

$$C_1 y_1(x_0)+C_2 y_2(x_0)=a$$

$$C_1 y'_1(x_0)+C_2 y'_2(x_0)=b.$$

Determinanta matrice ovog sustava je upravo Wronskijan. Prema Kronecker-Capellijevom teoremu (vidi M1, teorem 2.5) i svojstvu determinanti D8 (vidi M1, poglavlje 2.9.1), ovaj sustav ima jedinstveno rješenje ako i samo ako je $W(x)\neq 0$ za svaki $x=x_0$ u intervalu $\mathcal{I}$ i teorem je dokazan.     

Q.E.D.

Skup linearno nezavisnih rješenja homogene jednadžbe (5.11) zove se fundamentalan skup rješenja.

Primjer 5.20   Rješenja diferencijalne jednadžbe

$$y''+\frac{1}{x} y'-\frac{1}{x^2} y=0$$

su

$$y_1=x,\qquad y_2=-\frac{1}{x},$$

što se lako provjeri uvrštavanjem. Wronskijan je jednak

$$W(x)=\begin{vmatrix}x & -\frac{1}{x} 1 & \frac{1}{x^2} \end{vmatrix}= \frac{2}{x}.$$

Očito je $W(x)\neq 0$ za $x\neq 0$ pa su prema teoremu 5.3 funkcije $y_1$ i $y_2$ linearno nezavisne, a opće rješenje jednadžbe glasi

$$y=C_1 x+C_2 \frac{1}{x}.$$

Ukoliko znamo jedno rješenje zadane homogene jednadžbe, drugo linearno nezavisno rješenje možemo dobiti koristeći formulu (5.12). Prema toj formuli je

$$y_1 y'_2-y_2 y'_1=C e^{-\int p(x) dx}.$$

Dijeljenjem ove jednadžbe s $y_1^2$ imamo

$$\frac{y_1 y'_2-y_2 y'_1}{y_1^2} = \frac{1}{y_1^2} C e^{-\int p(x) dx}$$

pa pravilo o deriviranju produkta daje

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{y_2}{y_1} \right) = \frac{1}{y_1^2} C e^{-\int p(x) dx},$$

odnosno,

$$\frac{y_2}{y_1}=\int \frac{ C e^{-\int p(x) dx}}{y_1^2} dx+D.$$

Kako tražimo samo jedno rješenje, možemo uzeti $C=1$ i $D=0$ pa je

$$y_2=y_1 \int \frac{e^{-\int p(x) dx}}{y_1^2} dx.$$ (5.13)

Funkcije $y_1$ i $y_2$ su očito linearno nezavisne jer je funkcija $y_2/y_1$ različita od konstante pa je opće rješenje jednadžbe jednako

$$y=C_1 y_1 + C_2 y_1 \int \frac{e^{-\int p(x) dx}}{y_1^2} dx.$$

Primjer 5.21   Jedno rješenje homogene diferencijalne jednadžbe

$$(1-x^2) y''-2xy'+2y=0$$

je $y_1=x$ . Prema formuli (5.13) vrijedi

$$y_2 =x \int \frac{ e^{\int \frac{2x}{1-x^2} dx}}{x^2} dx =x\int \frac{e^{-\ln \vert 1-x^2\vert}}{x^2} dx=x\int \frac{dx}{x^2 \vert 1-x^2\vert}$$

$$=\frac{1}{2} x \ln \left\vert\frac{1+x}{1-x}\right\vert \pm 1$$

pa je opće rješenje zadane jednadžbe jednako

$$y=C_1 x + C_2 \left( \frac{1}{2} x \ln \left\vert\frac{1+x}{1-x}\right\vert \pm 1 \right).$$

Linearne diferencijalne jednadžbe drugog     Linearne diferencijalne jednadžbe drugog     Nehomogene jednadžbe